双结的奇点绝缘同调 homology

我们建立了双结不可约奇点绝缘同调 homology 的维数公式，用于双结 $S^3_{p/q}(K)$ 中的 $K$： $$\dim I^\sharp(S^3_{p/q}(K),\widetilde{K}_{p/q},\omega; \mathbb{K}) = 2q \cdot r_{\mathbb{K}}(K) + 2|p - q \cdot \nu^\sharp_{\mathbb{K}}(K)|~\mathrm{for}~p/q\neq \nu^\sharp_{\mathbb{K}}(K),$$其中 $\omega\subset S^3\backslash K$ 为任意无定向 $1$ 维子流形作为束集，$r_{\mathbb{K}}(K)$ 和 $\nu^\sharp_{\mathbb{K}}(K)$ 为来自域 $\mathbb{K}$ 定义的 $I^\sharp(S^3_{p/q}(K);\mathbb{K})$ 维数公式中的整数。特别地，当 $\mathbb{K}$ 为二元素域 $\mathbb{F}_2$ 时，简化奇点绝缘同调 homology 满足$$\dim I^\natural(S^3_{p/q}(K),\widetilde{K}_{p/q},\omega;\mathbb{F}_2)=\dim I^\sharp(S^3_{p/q}(K);\mathbb{F}_2)~\mathrm{for}~p/q\neq \nu^\sharp_{\mathbb{F}_2}(K).$$作为应用，对于 $\mathbb{F}_2$ 域下的双结 $K\subset S^3$ 中除 unknot 和 torus 结 $T_{2,3},T_{2,5}$ 之外的determinant-one结，以及分数 $p/q\in (0,6)$ 且 $p$ 为奇素数幂的 $p/q$，手术流形 $\widehat{Y}_{p/2q}(\widehat{K})$ 对双分支覆盖 $\widehat{Y}=\Sigma(S^3,K)$ 及其原像 $\widehat{K}\subset \widehat{Y}$ 不为 $SU(2)$-abelic。我们也获得了关于 $SU(2)$ 表示的结补进行非阿贝尔结果，使得某些固定斜率在 $(0,6)$ 区间内的曲线送到无迹元素。