理想磁流体力学可证明正的高阶格式：一般网格上的分析

本文提出并分析了任意高阶间断 Galerkin (DG) 和有限体积方法，其在一般网格上可证明地保持理想 MHD 密度和压力的 positivity。建立了统一辅助理论，用于严格分析具有 HLL 型通量的 MHD 格式在任意空间维数多边形网格上的保正 (PP) 性质。此处克服的主要挑战包括建立 PP 性质与磁场离散散度之间的关系，以及估计 HLL 通量中适当的波速以确保 PP 性质。在一维情形，我们证明具有所提 HLL 通量的标准 DG 和有限体积方法在 PP 限制器可满足的条件下是 PP 的。对于多维守恒 MHD 系统，由于不可避免的散度误差影响，带 PP 限制器的标准 DG 方法一般不是 PP 的。我们通过可对称化 MHD 系统的适当离散，结合两种散度控制技术：局部无散度单元和惩罚项，构造了可证明 PP 的高阶 DG 和有限体积格式。前者导致每个单元内散度为零，而后者控制跨单元界面的散度误差。我们的分析揭示，二者耦合对保正至关重要，因为它们恰好贡献了标准 DG 格式中缺失但对确保 PP 性质关键的离散散度项。数值测试证实了 PP 性质及所提 PP 格式的有效性。与守恒 MHD 系统不同，可对称化 MHD 系统的精确光滑解被证明即使不满足无散度条件也保持 positivity。我们的分析和发现从离散与连续两个层面增进了对 PP 性质与无散度约束之间关系的理解。