理想磁流体力学数值格式的正性保持分析

可证明保持密度与压力正性的数值格式对磁流体力学（MHD）极为重要，但严格的正性保持（PP）分析仍具挑战性。困难主要源于MHD方程固有的复杂性，以及PP性质与磁场无散度条件之间不确定的关系。我们首次对采用Lax-Friedrichs（LF）通量的理想MHD守恒格式给出严格的PP分析。重要创新在于发现了PP性质与离散无散度（DDF）条件之间的理论联系。该联系通过广义LF分裂性质建立，后者是通常期望的LF分裂性质（对理想MHD不成立）的替代。广义LF分裂性质涉及由DDF条件强耦合的若干可容状态，使其推导十分困难。我们通过可容状态集的一种新颖等价形式以及由技巧性估计巧妙构造的一个重要不等式推导了这些性质。对均匀笛卡尔网格上采用LF通量的有限体积与间断Galerkin格式给出了严格的PP分析。在一维情形，证明了带适当数值黏性的一阶格式具有PP性质，且在可由PP限制器满足的条件下任意高阶格式亦具PP性质。在二维情形，我们表明DDF条件对实现PP性质是必要且关键的。观察到即便轻微违背所提DDF条件也可能导致无法保持压力正性。我们证明了带适当数值黏性的二维LF型格式保持正性与DDF条件。导出了二维PP高阶格式的充分条件，并讨论了向三维的推广。数值算例证实了理论发现。