相对论流体力学中比熵极小值原理及保不变区域的高阶精度数值方法

本文探讨Tadmor关于相对论流体力学（RHD）方程的最小熵原理，并将该原理纳入在一般网格上为RHD设计鲁棒高阶间断Galerkin（DG）和有限体积格式的工作中。证明了这些格式能将数值解保持在由所有已知内禀约束构成的全局不变区域内：最小熵原理、流体速度的亚光速约束，以及压力和静质量密度的正性。相对论效应导致本研究出现一些非相对论情形中未遇到的基本困难。最显著的是，在RHD情形下比熵是守恒变量的高度非线性隐函数，而且通量也没有关于守恒变量的显式公式。为克服由此产生的挑战，我们首先通过巧妙引入两个辅助变量，提出了不变区域的一种新颖等价形式。作为一个显著特征，该新颖形式中的所有约束关于守恒变量都是显式且线性的。这为从理论上分析RHD格式的保不变区域（IRP）性质提供了高效途径，且无需对精确Riemann解的IRP性质作任何假设。在此基础上，我们证明了不变区域的凸性，并通过技术性估计建立了广义Lax–Friedrichs分裂性质，为IRP分析奠定基础。结果表明，RHD的一阶Lax–Friedrichs格式满足局部最小熵原理，并在CFL条件下是IRP的。借助简单的缩放限制器，开发了RHD的可证明IRP高阶DG和有限体积方法。若干数值算例展示了所提格式的有效性。