Krull 幺半群中 $k$ 个原子的乘积

设 $H$ 是一个具有有限类群 $G$ 的 Krull 幺半群，使得每个类都包含一个素因子。对于 $k\in \mathbb N$，令 $\mathcal U_k(H)$ 表示所有满足如下性质的 $m\in \mathbb N$ 的集合：存在原子 $u_1, \ldots, u_k, v_1, \ldots , v_m\in H$ 使得 $u_1\cdot\ldots\cdot u_k=v_1\cdot\ldots\cdot v_m$。众所周知，集合 $\mathcal U_k (H)$ 是有限区间，其最大值 $\rho_k(H)=\max \mathcal U_k(H)$ 仅依赖于 $G$。若 $|G|\le 2$，则对每个 $k \in \mathbb N$ 有 $\rho_k (H) = k$。假设 $|G| \ge 3$。一个基本的计数论证表明 $\rho_{2k}(H)=k\mathsf D(G)$ 且 $k\mathsf D(G)+1\le \rho_{2k+1}(H)\le k\mathsf D(G)+\lfloor \frac{\mathsf D(G)}{2}\rfloor$，其中 $\mathsf D(G)$ 是 Davenport 常数。在 \cite{Ga-Ge09b} 中证明了对于循环群，对每个 $k \in \mathbb N$ 有 $k\mathsf D(G)+1 = \rho_{2k+1}(H)$。在本文中，我们证明（在 Davenport 常数的一个温和条件下）对每个非循环群，存在 $k^*\in \mathbb N$ 使得对每个 $k\ge k^*$ 有 $\rho_{2k+1}(H)= k\mathsf D(G)+\lfloor \frac{\mathsf D(G)}{2}\rfloor$。这证实了 A. Geroldinger、D. Grynkiewicz 和 P. Yuan 在 \cite{Ge-Gr-Yu15} 中的猜想。