关于 $k$ 个原子乘积的研究 II

设 $H$ 为一个 Krull 幺半群，其类群为 $G$，且每个类都包含一个素因子（例如，代数数域中的整数环或代数函数域中的全纯环）。对于 $k \in \mathbb N$，令 $\mathcal U_k (H)$ 表示所有满足以下性质的 $m \in \mathbb N$ 的集合：存在原子 $u_1, ..., u_k, v_1, ..., v_m \in H$ 使得 $u_1 \cdot ... \cdot u_k = v_1 \cdot ...\cdot v_m$。此外，令 $\lambda_k (H) = \min \mathcal U_k (H)$ 且 $\rho_k (H) = \sup \mathcal U_k (H)$。集合 $\mathcal U_k (H) \subset \mathbb N$ 是区间，当且仅当 $G$ 有限时它们是有限的。它们的最小值 $\lambda_k (H)$ 可以用 $\rho_k (H)$ 来表示。不变量 $\rho_k (H)$ 仅依赖于类群 $G$，本文利用加法组合学的新方法对其进行了研究。