Krull 幺半群中的极小关系与链度

设 $H$ 是一个具有类群 $G$ 的 Krull 幺半群。则 $H$ 是阶乘的当且仅当 $G$ 是平凡的。长度集合与链度集合是在非阶乘情形下描述 $H$ 的算术的已被充分研究的不变量。在本注记中，我们聚焦于 $H$ 的链度集合 $Ca(H)$ 以及极小关系中的距离集合 $\mathcal R(H)$。我们证明 $\mathbb N_{\ge 2}$ 的任意有限非空子集都可以实现为具有有限类群的 Krull 幺半群的链度集合。这回答了 {arXiv:1506.07587} 中的问题 4.1。进一步假设 $G$ 的每个类都包含一个素因子。则 $Ca(H)\subset \mathcal R(H)$ 且 $\mathcal R(H)$ 包含一个长区间。在关于 $G$ 的 Davenport 常数的合理条件下，$\mathcal R(H)$ 与该区间重合且最大值等于 $H$ 的链度。