基于长度集的类群刻画 {II}

设 $H$ 是一个具有有限类群 $G$ 的Krull幺半群，并假设每个类都包含一个素因子。如果一个元素 $a \in H$ 有一个分解为不可约元 $u_1, \ldots, u_k \in H$ 的因子分解 $a=u_1 \cdot \ldots \cdot u_k$，则 $k$ 称为该因子分解的长度，而所有可能因子分解长度的集 $\mathsf L (a)$ 是 $a$ 的长度集。经典结论是，所有长度集的系统 $\mathcal L (H) = \{ \mathsf L (a) \mid a \in H \}$ 仅依赖于类群 $G$，并且一个长期存在的猜想陈述反之系统 $\mathcal L (H)$ 是类群的特征。我们验证了该猜想，如果类群同构于 $C_n^r$，其中 $r,n \ge 2$ 且 $r \le \max \{2, (n+2)/6\}$。事实上，令 $H'$ 是另一个类群为 $G'$ 的Krull幺半群，使得每个类包含一个素因子，并假设 $\mathcal L (H)= \mathcal L (H')$。我们证明，如果群 $G$ 和 $G'$ 之一同构于如上 $r,n$ 的 $C_n^r$，则 $G$ 和 $G'$ 同构（除了两个著名的配对）。