Krull幺半群的链环次数 I

设$H$是一个具有有限类群$G$的Krull幺半群，且每个类都包含一个素因子（例如，代数数域中的整数环或代数函数域中的全纯环）。链环次数$\mathsf c (H)$是满足以下性质的最小整数$N$：对于每个$a \in H$以及$a$的任意两个因子分解$z, z'$，存在$a$的因子分解$z = z_0, ..., z_k = z'$，使得对于每个$i \in [1, k]$，$z_i$通过将$z_{i-1}$中至多$N$个原子替换为至多$N$个新原子而得到。在关于$G$的Davenport常数的非常温和的条件下，我们建立了链环次数的一个新的简单刻画。这一刻画提供了对链环次数的新的结构理解。特别地，它阐明了$\mathsf c (H)$与$H$的距离集之间的关系，并为获得关于链环次数的更详细结果开辟了道路。作为初步应用，我们给出了$\mathsf c(H)$的一个新上界，并刻画了$\mathsf c(H)\leq 4$的条件。