Krull 半群中的极小距离集

设 $H$ 为具有有限类群 $G$ 的 Krull 半群。则每个非单位元 $a \in H$ 可写为原子的有限乘积，即 $a=u_1 \cdot \ldots \cdot u_k$。所有可能分解长度 $k$ 的集合 $\mathsf L (a)$ 称为 $a$ 的长度集。若 $G$ 有限，则存在常数 $M \in \mathbb N$ 使得所有长度集均为以 $M$ 为界、以 $d \in \Delta^* (H)$ 为差集的近似算术多重数列，其中 $\Delta^* (H)$ 表示 $H$ 的极小距离集。我们证明 $\max \Delta^* (H) \le \max \{\exp (G)-2, \mathsf r (G)-1\}$，并且若 $G$ 的每个类均包含素除子，则等号成立，该条件对全局域的全纯环成立。