距离集合的实现定理

设 $H$ 为原子幺半群。$H$ 的距离集合 $\Delta (H)$ 是所有满足以下性质的 $d \in \mathbb{N}$ 的集合：存在不可约元素 $u_1, \ldots, u_k, v_1 \ldots, v_{k+d}$，使得 $u_1 \cdot \ldots \cdot u_k = v_1 \cdot \ldots \cdot v_{k+d}$，但对于任何满足 $k < \ell < k+d$ 的 $\ell \in \mathbb{N}$，$u_1 \cdot \ldots \cdot u_k$ 都不能写成 $\ell$ 个不可约元素的乘积。众所周知（且易于证明），若 $\Delta (H)$ 非空，则 $\min \Delta (H) = \gcd \Delta (H)$。本文反过来证明，对于每个满足 $\min \Delta = \gcd \Delta$ 的有限非空集合 $\Delta \subset \mathbb{N}$，都存在一个有限生成的 Krull 幺半群 $H$，使得 $\Delta (H) = \Delta$。