半正规弱 Krull 幺半群中的距离集合

幺半群或整环的距离集合是指满足如下性质的所有 $d \in \mathbb N$ 的集合：存在不可约元 $u_1, \ldots, u_k, v_1, \ldots, v_{k+d}$ 使得 $u_1 \cdot \ldots \cdot u_k = v_1 \cdot \ldots \cdot v_{k+d}$，但 $u_1 \cdot \ldots \cdot u_k$ 对于任意满足 $k < l < k+d$ 的 $l$ 都不能写为 $l$ 个不可约元的乘积。我们证明，对于某些半正规弱 Krull 幺半群(包括整体域的全纯环中的半正规序)，其距离集合是一个区间。