数值单半群与算术同余单半群因子分解的 $p$ 长度的某些渐近结果

单元素 $x$ 在单半群 $(M, \cdot)$ 中的因子分解形式为 $x = u_1^{z_1} \cdots u_k^{z_k}$，其中 $u_1, \ldots, u_k \in M$ 为不可约元素，因子分解的长度为 $z_1 + \cdots + z_k$。我们引入 $p$ 长度的概念，这是一种来自序列 $(z_1, \ldots, z_k)$ 的 $\ell_p$-范数得到的因子长度的广义形式，并提出关于数值单半群（作为 $\mathbb Z_{\ge 0}$ 的加法子单半群）和算术同余单半群（作为 $\mathbb Z_{\ge 1}$ 的乘法子单半群）中大元素因子分解的极端 $p$ 长度的渐近结果。我们的结果灵感来自经典因子长度的类似结果，展示了对于足够完善的单半群，人们可期望获得的组合论陈述的类型，以及一般单半群中此类渐近问题的微妙性。