关于数值半群元素及其分解的 $\ell_0$- 与 $\ell_\infty$-范数

数值半群 $S$ 是 $\mathbb Z_{\ge 0}$ 的一个余有限、加法封闭子集且包含 0，$S$ 中元素 $x$ 的分解是一个 $k$-元组 $z = (z_1, \ldots, z_k)$，其中 $x = z_1a_1 + \cdots + z_ka_k$ 将 $x$ 表示为 $S = \langle a_1, \ldots, a_k \rangle$ 的生成元之和。大量关于非唯一分解的研究集中在分解长度 $z_1 + \cdots + z_k$ 上，该长度等同于 $k$-元组 $z$ 的 $\ell_1$-范数。在本文中，我们研究分解的 $\ell_\infty$-范数和 $\ell_0$-范数，将其视为长度的替代概念，特别关注从经典分解长度 delta 集 $\Delta(x)$ 推广而来的 $\Delta_\infty(x)$ 和 $\Delta_0(x)$。我们证明了 $\infty$-delta 集 $\Delta_\infty(x)$ 作为 $x \in S$ 的函数最终是周期的，对若干被广泛研究的数值半群族分类了 $\Delta_\infty(S)$ 和 0-delta 集 $\Delta_0(S)$，并识别了展示 $\Delta_\infty(S)$ 和 $\Delta_0(S)$ 可以是任意长区间且可以避开任意长子区间的数值半群族。