数值半群 Delta 集的计算

设 $\{a_1,\dots,a_p\}$ 为数值半群 $S$ 的极小生成集。对于任意 $s\in S$，其 Delta 集定义为 $\Delta(s)=\{l_{i}-l_{i-1}|i=2,\dots,k\}$，其中 $\{l_1<\dots<l_k\}$ 是集合 $\{\sum_{i=1}^px_i\,|\, s=\sum_{i=1}^px_ia_i \textrm{ and } x_i\in \N \textrm{ for all }i\}$。$S$ 的 Delta 集记为 $\Delta(S)$，是所有 $s\in S$ 的集合 $\Delta(s)$ 的并集。正如 [S.T. Chapman, R. Hoyer, and N. Kaplan. Delta sets of numerical monoids are eventually periodic. Aequationes Math. 77 (2009), no. 3, 273--279] 中所证明的，存在一个界 $N$，使得 $\Delta(S)$ 是所有满足 $s\in S$ 且 $s<N$ 的 $s$ 的集合 $\Delta(s)$ 的并集。在这项工作中，通过利用几何工具，我们获得了一个更精确的界，并给出了一种算法，仅利用 $a_1$ 个元素的因子分解即可计算 $\Delta(S)$。