交换幺半群与整环中的长度阶乘性

若原子幺半群 $M$ 中每个不可逆元素 $x \in M$ 的任意两个不同分解的长度都不相同，则称 $M$ 为长度阶乘幺半群（或称另一半阶乘幺半群）。长度阶乘性这一概念由 Coykendall 和 Smith 于 2011 年提出，作为被广泛研究的半阶乘性概念的对偶。他们证明了在整环情形下，长度阶乘性可作为唯一分解整环的另一种定义。然而，一般而言，成为长度阶乘幺半群弱于成为阶乘幺半群（即唯一分解幺半群）。本文进一步研究长度阶乘性。首先，我们给出长度阶乘幺半群 $M$ 的两个刻画，并利用这些刻画描述 Betti 元素集合并得到 $M$ 的链度公式。接着我们研究长度阶乘性与纯长（相应地为纯短）不可约元之间的联系，后者是指在任意不平衡分解关系中出现在较长（相应地为较短）一侧的不可约元。最后，我们证明一个整环不能同时包含纯短和纯长不可约元，并构造了一个包含纯长（相应地为纯短）不可约元但不包含纯短（相应地为纯长）不可约元的 Dedekind 整环。