关于多项式半环代数赋值的加法结构

本文利用D. D. Anderson、D. F. Anderson和M. Zafrullah于1990年引入的方法，研究多项式半环 $\mathbb{N}_0[X]$ 的正代数赋值 $\mathbb{N}_0[\alpha]$ 的加法幺半群中的因式分解。一个可消去交换幺半群若每个不可逆元都可分解为不可约元之积，则是原子的。我们首先确定 $\mathbb{N}_0[\alpha]$ 何时为原子幺半群，并明确描述其不可约元集合。一个原子幺半群若每个元素仅有有限个因式分解（不计顺序与相伴），则为有限因式分解幺半群（FFM）；若每个元素的任意因式分解中不可约元个数（计重数）均有上界，则为有界因式分解幺半群（BFM）。我们证明，对幺半群 $\mathbb{N}_0[\alpha]$ 而言，BFM性质与FFM性质均等价于主理想升链条件（ACCP）。最后，我们给出 $\mathbb{N}_0[\alpha]$ 为唯一因式分解幺半群（UFM）的多种刻画，其中两种用 $\alpha$ 的极小多项式表述。在此过程中也探讨了有限生成、半阶乘与长度阶乘等性质。