正半环的双原子类

设 $S$ 为实直线上的非负半环,此处称为正半环。我们研究加法幺半群 $(S,+)$ 与乘法幺半群 $(S\setminus\{0\}, \cdot)$ 中的因式分解。特别地,我们考察对于正半环 $S$,$(S,+)$ 与 $(S\setminus\{0\}, \cdot)$ 何时具有以下性质:原子性、ACCP、有界因式分解性质(BFP)、有限因式分解性质(FFP)与半阶乘性质(HFP)。众所周知,在消去且交换的幺半群中,蕴含链 HFP $\Rightarrow$ BFP 与 FFP $\Rightarrow$ BFP $\Rightarrow$ ACCP $\Rightarrow$ 原子性 成立。本文构造了若干正半环类,其中加法与乘法结构均满足上述各性质,并给出例子表明一般而言该蕴含链中任一蕴含均不可逆。