有限弹性的刻画

我们的动机目标是在具有有限生成类群 $G$ 的 Krull 整环 $H$ 中的因式分解。弹性 $\rho(H)$ 是任意由 $k$ 个原子构成的乘积在任何重新因式分解中原子数的最大值。这些弹性等同于零和序列组合幺半群 $B(G_0)$ 的弹性，其中 $G_0\subseteq G$ 为具有高度一素元的类。我们刻画了对于任意具有有限生成类群的 Krull 整环何时成立有限弹性。我们的结果对更一般的转移 Krull 幺半群（在有限生成阿贝尔群 $G$ 的子集 $G_0$ 上）也成立。我们证明存在最小的 $s\leq (d+1)m$，其中 $d$ 为无挠秩、$m$ 为挠指数，使得 $\rho_s(H)<\infty$ 蕴含对所有 $k\geq 1$ 有 $\rho_k(H)<\infty$。这保证了 $\rho(H)<\infty$ 当且仅当 $\rho_{(d+1)m}(H)<\infty$。我们的刻画基于无限弹性的一个简单组合学障碍：存在子集 $G_0^\diamond\subseteq G_0$ 与界 $N$，使得没有来自 $G_0^\diamond$ 的非平凡零和序列，且每个极小零和序列至多含有 $N$ 个来自 $G_0\setminus G_0^\diamond$ 的项。我们用 $G_0$ 模挠子群 $G_T\leq G$ 的凸几何显式描述了 $G_0^\diamond$，并证明有限弹性等价于该显式定义子集的元素模 $G_T$ 不存在正线性组合等于 $0$。我们利用结果证明了有限弹性蕴含距离集 $\Delta(H)$、链度 $\mathsf c(H)$（对 Krull 幺半群）以及一种弱化的驯服度（对 Krull 幺半群）也都有限，且并集结构定理成立。我们在转移 Krull 幺半群中因式分解的结果是通过发展推广正基的凸几何广泛理论而取得的。