Puiseux 幺半群的弹性

设 $M$ 为原子幺半群，$x$ 为 $M$ 的非单位元。$x$ 的弹性，记作 $\rho(x)$，是其最长分解长度与最短分解长度之比，用于衡量 $x$ 距离具有唯一分解有多远。$M$ 的弹性 $\rho(M)$ 是 $M$ 中所有非单位元弹性的上确界。若存在某个 $m \in M$ 使得 $\rho(M) = \rho(m)$，则称幺半群 $M$ 具有可达弹性。本文研究 Puiseux 幺半群（即 $\mathbb{Q}_{\ge 0}$ 的加法子幺半群）的弹性。首先，我们刻画了具有有限弹性的 Puiseux 幺半群 $M$，并给出了 $\rho(M)$ 的公式。然后，我们根据原子集合对具有可达弹性的 Puiseux 幺半群进行了分类。当 $M$ 为初级 Puiseux 幺半群时，我们描述了其弹性集合的拓扑结构，包括对 $M$ 何时为有界分解幺半群的刻画。最后，我们给出了一个分叉 Puiseux 幺半群的例子（即每个非零元素都有长度至多为 $2$ 的分解）。