随机微分方程中矩的多项式传播

我们处理如下逼近问题：对具有漂移项与扩散项的 Itô 随机微分方程（SDE）的解 $\boldsymbol{X}(t)$，在时间网格 $t_0, t_1, \ldots, t_n$ 上逼近其矩。具体地，我们假设一个显式数值格式用于生成样本路径 $\hat{\boldsymbol{X}}(t_0), \ldots, \hat{\boldsymbol{X}}(t_n), \ldots$，然后得到递推方程，将任意所需的 $\hat{\boldsymbol{X}}(t_n)$ 的非中心矩表示为初始条件 $\boldsymbol{X}_0$ 的函数。该方法的核心是将数值解分解为“中心部分”与“有效噪声”项。中心项由 SDE 中消去扩散项所得的常微分方程（ODE）确定性地计算，而有效噪声则解释数值解相对 ODE 数值解的随机偏差。为简洁起见，我们描述了基于 Euler-Maruyama 积分器的算法，但其他显式数值格式也可同样利用。我们还将矩逼近应用于基于 Gram-Charlier 展开构造 $\hat{\boldsymbol{X}}(t_n)$ 的一维边缘概率密度函数估计。对于矩与一维密度的逼近，我们描述了在初始条件固定（即对某些已知 $\boldsymbol{x_0}$ 有 $\boldsymbol{X}_0 = \boldsymbol{x}_0$）或随机时如何处理。在后者情形，我们借助多项式混沌展开（PCE）格式逼近目标矩。该方法受用于天体动力学问题不确定性传播的 PCE 与微分代数（DA）方法启发。因此，我们展示了其在由 Wiener 噪声过程扰动的二维开普勒轨道的不确定性量化中的应用。