随机系数的多项式混沌展开及张量列格式下随机偏微分方程的解
数值分析
2015-03-12 v1
摘要
我们应用张量列(Tensor Train, TT)分解来构造随机场的张量积多项式混沌展开(PCE)，以随机Galerkin离散化求解随机椭圆扩散偏微分方程，并计算一些关注量（均值、方差、超越概率）。我们假设随机扩散系数作为高斯随机场的平滑变换给出。此时，PCE由一个复杂公式给出，缺乏解析的TT表示。为数值构造其TT近似，我们开发了新块TT交叉算法，一种从PCE公式的少量求值计算整个TT分解的方法。新方法在概念上类似于TT格式中的自适应交叉近似，但当多个张量必须存储在同一TT表示中时（PCE的情况即如此）更高效。此外，我们展示了如何组装随机Galerkin矩阵并在TT格式中计算椭圆方程的解及其后处理。我们将我们的技术与传统的稀疏多项式混沌和蒙特卡洛方法进行比较。在张量积多项式混沌中，每个随机变量的多项式次数独立有界。这提供了比稀疏多项式集或蒙特卡洛方法更高的精度，但张量积集的基数随随机变量数量呈指数增长。然而，当PCE系数在TT格式中隐式近似时，使用完整张量积多项式集的计算变得可能。在数值实验中，我们确认新方法论在广泛参数范围内具有竞争力，尤其在需要高精度和高多项式次数的情况下。
引用
@article{arxiv.1503.03210,
title = {Polynomial Chaos Expansion of random coefficients and the solution of stochastic partial differential equations in the Tensor Train format},
author = {Sergey Dolgov and Boris N. Khoromskij and Alexander Litvinenko and Hermann G. Matthies},
journal= {arXiv preprint arXiv:1503.03210},
year = {2015}
}
备注
This is a major revision of the manuscript arXiv:1406.2816 with significantly extended numerical experiments. Some unused material is removed