基于低秩 Wasserstein 多项式混沌展开的生成建模

提出了一种新的 Wasserstein 多元素多项式混沌展开(WPCE),其受近期用于估计 Wasserstein 距离的计算最优传输进展的启发。所发展方法将无监督学习与随机向量 $Y$ 的显式函数表示相结合。其训练仅依赖于来自未知分布的有限样本集,用于最小化称为去偏 Sinkhorn 散度的正则化经验 Wasserstein 度量。驱动该方法的引人关注的应用来自定义在微观尺度上的非周期随机场的数值上尺度化。与随机均匀化中的常数刻画相比,WPCE 可以编码关于有效材料行为的高阶随机信息。新方法的一个显著特征是将常见的微分同胚传输映射推广到不连续且非单射的模型类 $\mathcal{M}$ 的情形,其输入和输出维度可能不同。它计算出分布意义下的(函数)关系 $Y=\mathcal{M}(X)$,其中输入随机变量为 $X$,目标为 $Y$。PCE 的指数增长通过一种新的堆叠张量列(STT)格式得到缓解。通过对模型类 $\mathcal{M}$ 和平滑损失函数的选择,高阶优化方案尤其是黎曼下降法成为可能。所提方法在一个考虑微观随机非周期复合材料的高维上尺度化问题上进行了数值说明。其结果为一个在计算上易处理的有效宏观随机场(在适配随机坐标下)。通过松弛到不连续模型类,多峰分布也变得可处理。