抛物型随机偏微分方程确定性二阶矩方程的数值方法

随机偏微分方程的数值方法通常从采样路径估计解的矩。相反，我们将直接针对由一阶和二阶矩以及协方差满足的确定性方程。第一部分，我们关注随机常微分方程。对于加性噪声（Ornstein-Uhlenbeck 过程）或乘性噪声（几何布朗运动）的典型例子，我们推导这些确定性方程的变分形式并详细讨论其适定性。值得注意的是，乘性情形下的二阶矩方程自然地在投射-内射张量积空间上以试-验空间形式提出。我们基于张量积分片多项式构造 Petrov-Galerkin 离散化，并在这些自然范数下分析其稳定性和收敛性。第二部分，我们处理具有仿射乘性噪声的抛物型随机偏微分方程。我们证明二阶矩确定性变分问题的适定性，改进了早先的结果。然后我们提出协调的时空 Petrov-Galerkin 离散化，并证明其稳定且拟最优。两部分的结果均通过数值例子说明。