基于表面测量的一维浅水移动底部探测的最优控制方法

我们考虑 Lannes [Lannes, D. (2013). The water waves problem: mathematical analysis and asymptotics (Vol. 188). American Mathematical Soc.] 所描述的浅水区 Boussinesq-Peregrine (BP) 系统，并研究由自由表面波剖面及其速度的测量值确定河床底部剖面时空变化的逆问题。本文给出了考虑时变底部的 (BP) 系统在 Sobolev 框架下的适定性结果。然后，将该逆问题重新表述为一个非线性偏微分方程约束优化问题。给出了在底部容许集约束下极小值的存在性结果。此外，考虑了通过伴随方法实现的梯度下降法。为了数值求解正向 (BP) 系统及其伴随系统，我们推导了一个包含非守恒乘积的通用低耗散格式。该格式基于 [Toro, E. F., Saggiorato, B., Tokareva, S., and Hidalgo, A. (2020). Low-dissipation centred schemes for hyperbolic equations in conservative and non-conservative form. Journal of Computational Physics, 416, 109545] 中提出的 FORCE-α 方法。最后，我们应用该方法恢复三种不同的底部剖面：光滑底部、不连续底部以及具有大梯度的连续剖面。我们与 (BP) 及其伴随系统的两种经典离散化方法进行了比较。这些结果证实了所提方法在恢复底部剖面方面的有效性。