非捕获 resolvent 估计中的最优常数及其在数值分析中的应用

我们研究具有 Euclidean 端流的流形上非捕获障碍的 resolvent。众所周知，对此类流形，出射 resolvent 满足 $\|\chi R(k) \chi\|_{L^2\to L^2}\leq C{k}^{-1}$（${k}>1$），但常数 $C$ 鲜有研究。我们证明，对于高频，该常数由上界 $2/\pi$ 乘以停留在 $\chi$ 支撑内的 $|\xi|_g^2-1$ 的最长广义双特征的长度所界定。我们证明该估计在无边界流形情形下是最优的。随后我们探讨了这一结果对 Helmholtz 方程数值分析的意义。