抛物俘获下 Helmholtz 方程的高频界及其在数值分析中的应用
偏微分方程分析
2019-12-04 v5
摘要
本文研究当障碍物具有俘获性时，在具有 Dirichlet 边界条件的有界障碍物外部求解 Helmholtz 方程在实轴上的预解式估计。目前文献中关于这种情况有两种预解式估计： 在椭圆俘获情况下，适用指数增长的一般“最坏情况”界，且实例表明这种增长可以通过某些波数序列实现； 在原型双曲俘获情况下，即在两个严格凸的障碍物（或具有附加约束的多个障碍物）外部求解 Helmholtz 方程时，非俘获预解式估计成立，但带有对数损失。本文首次证明了障碍物抛物俘获情况下的预解式估计，研究了一类障碍物，其原型示例为二维中两个正方形或三维中两个立方体的外部，且它们的边是平行的。我们通过发展 Morawetz 的矢量场/乘子方法，并首次将此方法应用于俘获构型，证明了在非俘获估计之上存在多项式损失的预解式估计。我们利用该界以及其他俘获预解式估计，证明了在俘获情况下边界值问题的积分方程表述的相关结果。将这些界代入现有的有限元和边界元方法分析框架中，我们首次获得了在俘获障碍物外部求解 Helmholtz 方程的数值方法的波数显式收敛性证明。
引用
@article{arxiv.1708.08415,
title = {High-frequency bounds for the Helmholtz equation under parabolic trapping and applications in numerical analysis},
author = {Simon N. Chandler-Wilde and Euan A. Spence and Andrew Gibbs and Valery P. Smyshlyaev},
journal= {arXiv preprint arXiv:1708.08415},
year = {2019}
}