求解Stokes方程的基于质量的新颖多重网格松弛格式

本工作中，我们提出三种基于分配松弛、Braess-Sarazin松弛和Uzawa松弛的新型块结构多重网格松弛格式，用于求解由mark-and-cell格式离散的Stokes方程。在我们早期工作\cite{he2018local}中，我们讨论了这三类松弛格式，其中使用加权Jacobi迭代来处理Stokes方程中涉及的Laplacian算子。在\cite{he2018local}中，我们表明分配加权-Jacobi松弛与不定Braess-Sarazin松弛的最优光滑因子为$\frac{3}{5}$，$\sigma$-Uzawa松弛为$\sqrt{\frac{3}{5}}$。此处，我们在这三种松弛中提出基于质量的近似，其中直接利用双线性有限元法得到的质量矩阵$Q$来近似标量Laplacian算子的逆，而非使用Jacobi迭代。利用局部傅里叶分析，我们从理论上推导了所得三种松弛格式的最优光滑因子。具体而言，基于质量的分配松弛、基于质量的Braess-Sarazin松弛和基于质量的$\sigma$-Uzawa松弛的最优光滑因子分别为$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{3}$和$\sqrt{\frac{1}{3}}$。需注意，基于质量的松弛格式相较使用Jacobi迭代的原格式不增加计算代价。另一优势是无需计算矩阵的逆。这些新松弛格式颇具吸引力。