应用于泊松方程的加性 Vanka 型平滑子的闭式多重网格平滑因子

我们考虑由标准有限差分中心格式离散化的泊松方程的加性 Vanka 型平滑子。利用局部傅里叶分析，我们推导了两类称为顶点型和单元型 Vanka 平滑子的最优平滑因子的解析公式，并给出相应的模板。有趣的是，在一维中单元型 Vanka 平滑子等价于由线性有限元方法得到的缩放质量算子，在二维中单元型 Vanka 平滑子等价于由双线性有限元方法离散化的缩放质量算子加上一个缩放恒等算子。基于这些发现，由有限元方法得到的质量矩阵可用作拉普拉斯逆矩阵的近似，由此得到的基于质量的松弛格式在一维、二维和三维均具有较小的平滑因子。质量算子的优势在于其稀疏且良态，且松弛格式的计算代价仅为一个矩阵-向量乘积；无需计算矩阵的逆。这些发现有助于更好地理解加性 Vanka 平滑子的效率，并为偏微分方程数值解开发快速求解器。