基于稀疏哈密顿量分解求解泊松方程的变分量子算法

求解泊松方程通常归结为求解系数矩阵 $A$（其元素为 $a_{ij}$，$i,j=1,2,...,n$）来自离散化泊松方程的线性系统。尽管变分量子算法是求解离散化泊松方程的有前景的算法，但它们通常要求将 $A$ 分解为 $O[\text{poly}(\text{log}_2n)]$ 个简单算符之和，以高效评估损失函数。先前工作已探索了 $A$ 具有 $2\text{log}_2n+1$ 项的张量积分解。在本文中，基于稀疏哈密顿量的分解，我们大幅减少了项数。我们首先将损失函数用算符 $\sigma_x\otimes A$ 表示，其中 $\sigma_x$ 表示标准泡利算符。然后对于具有不同边界条件的一维泊松方程和具有狄利克雷边界条件的 $d$ 维泊松方程，我们分别将 $\sigma_x\otimes A$ 分解为至多 7 个和 $(4d+1)$ 个厄米、单稀疏且自逆算符之和。我们显式设计了高效评估损失函数的量子电路。该分解方法和量子电路设计也可轻易推广到系数矩阵为厄米且稀疏、并满足 $a_{i,i+c}=a_{c}$（$c=0,1,\cdots,n-1$ 且 $i=0,\cdots,n-1-c$）的线性系统。