两种求解椭圆最优控制问题的鲁棒多重网格方法的平滑分析

本文研究并比较了两种多重网格松弛格式（按二、三、四倍粗化）用于求解带控制约束的椭圆稀疏最优控制问题。首先，我们对一种著名的集体 Jacobi 松弛（CJR）格式进行了详细的局部傅里叶分析（LFA），推导出了最优平滑因子。该深入分析表明，最优松弛参数依赖于网格尺寸和正则化参数，这是文献中未曾研究过的。其次，我们提出并分析了一种新的基于质量的 Braess-Sarazin 松弛（BSR）格式，并证明当 $\alpha\ge ch^4$（其中 $c$ 为小常数）时，其平滑因子小于 CJR 格式。这里 $\alpha$ 为正则化参数，$h$ 为空间网格步长。这些格式通过半光滑牛顿法被成功推广到控制约束情形。采用 BSR 的三倍或四倍粗化可与二倍粗化相竞争。数值算例验证了我们的理论结果。所提出的不精确 BSR（IBSR）格式（对 Schur 补系统施加两次预条件共轭梯度迭代）比 CJR 格式具有更好的计算效率。