论预定松弛 Jacobi 方法与 Richardson 非定常方法的等价性

预定松弛 Jacobi (SRJ) 方法是经典 Jacobi 迭代方法的扩展，用于求解与椭圆问题相关的线性方程组 ($Au=b$)。它继承了经典方法的鲁棒性，并通过计算由一个最小化问题导出的一组 $P$ 个松弛因子来加速其收敛速率。在典型的 SRJ 格式中，前述因子集在 $M$ 次连续迭代的循环中被使用，直至达到预设的容差。我们给出了所有松弛因子互不相同时最优因子集的解析形式，并发现所得算法等价于非定常广义 Richardson 方法。我们估计权重的方法具有一个优势：矩阵 $A$ 的最大和最小特征值的显式计算被由 von Neumann 分析导出的最大和最小频率的（容易得多的）计算所取代。该权重集对于一般问题也是最优的，从而在给定的网格结构下在所有可能的 SRJ 格式中实现最快收敛。我们还表明，利用为固定循环大小的最优 SRJ 格式计算的权重集，在某些情况下可以数值估计逐次超松弛 (SOR) 方法中参数 $\omega$ 的最优值。最后，我们通过实际例子证明，我们的方法在采用 Laplace 算子高阶离散化的类泊松问题中也同样适用且效果良好。这具有重要意义，因为前述离散化无法产生一致有序的 $A$ 矩阵。此外，这里推导出的最优 SRJ 格式，在 Laplace 算子的高阶离散化方面优于现有的 SOR 实现，因为它们在并行实现时不需要求助于多色方案。（有删减）