利用网格结构提升鞍点问题的多重网格性能

近年来，针对线性或线性化鞍点问题（如 Stokes 方程和 Oseen 方程）的有限元离散求解器已发展得相当成熟。此类系统的预条件子主要有两大类：基于块分解的方法和基于整体多重网格的方法。这两类预条件子在构造时都有若干关键选择需要确定，例如为整体多重网格选择合适的松弛格式。从已有研究中，我们可以获得一些关于在低性能计算环境下何种选项更优的见解，但文献中很少有对这些方法进行公平比较的工作，尤其是针对诸如 GPU 等现代架构。在本文中，我们比较了块三角预条件子与采用三种最常见松弛格式（Braess-Sarazin、Vanka 和 Schur-Uzawa）的整体多重网格方法。我们针对结构化网格离散开发了一种高性能的 Vanka 松弛算法，该算法利用了此场景下的内存效率优势。我们详细分析了多重网格松弛格式的各种 CUDA 内核的行为，并评估了它们各自的算术强度、性能和运行时间。使用这些预条件子运行求解 Stokes 方程的预条件 FGMRES 求解器，使我们能够在实际应用中比较它们的效率。我们表明，整体多重网格的性能可以超越块三角预条件，并且使用 Vanka 或 Braess-Sarazin 松弛最为高效。尽管采用 Vanka 松弛的多重网格在 CPU 上性能有所下降（比 Braess-Sarazin 慢高达 $100\%$），但它在 GPU 上的性能却能比 Braess-Sarazin 高出 $20\%$ 以上，使其成为一种极具竞争力的算法，特别是考虑到有效的 Braess-Sarazin 松弛需要大量的算法调优。