耦合微分方程的分裂格式：基于块 Schur 的方法与部分 Jacobi 逼近
数值分析
2023-11-08 v2 数值分析
计算物理
摘要
耦合多物理场问题出现在无数应用中，并带来显著的数值挑战。尽管整体式方法可能提供最佳求解策略，它们通常需要特定的预条件子与数值实现。顺序法（亦称分裂法、分区法或分离法）是求解耦合问题的迭代方法，其中每个方程独立求解，耦合通过迭代实现。这些方法可灵活地在模型中增删方程，并依赖各特定方程的现有黑箱求解器。此外，当问题非线性时，即便整体式求解器也需内迭代，因此顺序迭代法成为可行替代。然而，为实现耦合而运行内迭代的代价可能极易变得难以承受，或某些情况下迭代可能不收敛。本文给出连续算子分裂格式的一般表述，支持任意隐式/显式分裂，如同线性系统的标准迭代法。通过引入通用松弛算子，我们得到迭代格式收敛的条件。我们展示该松弛算子可视为预条件子，并基于近似 Schur 补构造。我们提出基于 Schur 的部分 Jacobi 松弛算子以稳定耦合，并展示其有效性。尽管我们主要关注标量-标量线性问题，多数结果可轻易推广至非线性与高维问题。针对双孔隙模型与四拉普拉斯算子的两个 PDE 系统，我们进行了（一维与二维）数值测试以验证理论结果。
引用
@article{arxiv.2212.11111,
title = {Splitting Schemes for Coupled Differential Equations: Block Schur-Based Approaches and Partial Jacobi Approximation},
author = {Roberto Nuca and Erlend Storvik and Florin A. Radu and Matteo Icardi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2212.11111},
year = {2023}
}