欧几里得空间上的一阶平均场博弈的长时间行为

本文旨在研究欧几里得空间上确定性平均场博弈系统解的长时间行为。该问题在环面 ${\mathbb T}^n$ 上已于 [P. Cardaliaguet, {\it Long time average of first order mean field games and weak KAM theory}, Dyn. Games Appl. 3 (2013), 473-488] 中探讨,其中解被证明收敛于 ${\mathbb T}^n$ 上某遍历平均场博弈系统的解。通过借鉴 [A. Fathi, E. Maderna, {\it Weak KAM theorem on non compact manifolds}, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 14 (2007), 1-27] 的方法,我们确定了拉格朗日量上的结构条件,在此条件下相应的遍历系统可在 $\mathbb{R}^{n}$ 中求解。随后我们证明,时间相关解在整个空间的所有紧子集上收敛于该平稳系统的解。