具有尺度临界磁场的二维波动方程的 $L^p$ 估计

本文研究具有尺度临界磁势的二维波动方程解的 $L^{p}$ 估计。受 \cite{FZZ} 工作的启发，我们证明当 $\gamma>|1/p-1/2|$ 且 $t>0$ 时，算子 $(I+\mathcal{L}_{\mathbf{A}})^{-\gamma}e^{it\sqrt{\mathcal{L}_{\mathbf{A}}}}$ 在 $L^{p}(\mathbb{R}^{2})$ 中对于 $1<p<+\infty$ 是有界的，其中 $\mathcal{L}_{\mathbf{A}}$ 是磁薛定谔算子。特别地，我们推导了正弦波传播子 $\sin(t\sqrt{\mathcal{L}_{\mathbf{A}}})\mathcal{L}^{-\frac12}_{\mathbf{A}}$ 的 $L^{p}$ 界。关键要素在于核函数的构造以及解析算子族 $f_{w,t}(\mathcal{L}_{\mathbf{A}})$ 的逐点估计的证明。