Kähler 流形与交叉二次双截面曲率

在本文中，我们继续研究第一位作者早先引入的 Kähler 流形的两种曲率概念：所谓的交叉二次双截面曲率 (CQB) 及其对偶 ($^d$CQB)。我们首先证明具有 CQB$_1>0$ 或 $\mbox{}^d$CQB$_1>0$ 的紧 Kähler 流形是 Fano 流形，而非负 CQB$_1$ 或 $\mbox{}^d$CQB$_1$ 同样导出 Fano 流形，前提是万有覆盖不含平坦 de Rham 因子。对于后一陈述，我们采用 Kähler-Ricci 流来形变度量。我们猜想所有 Kähler C-空间都将具有非负 CQB 和正 $^d$CQB。通过给出具有任意大第二 Betti 数的不可约此类例子，我们表明这两种曲率的正性对 Betti 数无限制。一个加强的猜想是，任何 Kähler C-空间实际上都将具有正 CQB，除非它是 ${\mathbb P}^1$ 丛。最后我们给出一个具有 $b_2>1$ 且正 CQB 的非对称不可约 Kähler C-空间的例子，以及具有 CQB$<0$ 和 $^d$CQB$<0$ 的紧非局部对称 Kähler 流形。