二维薄膜方程弱解的赫尔德连续性

薄膜方程 $\partial_t u = -\nabla \cdot (u^n \nabla \Delta u)$ 描述了在平坦固体表面上铺展的粘性薄液膜的高度 $u=u(x,t)\geq 0$ 的演化。我们证明了在物理上最相关的二维空间维度 $d=2$ 情况下，薄膜方程的能量耗散弱解具有赫尔德连续性。尽管二十多年前就已建立了薄膜方程弱解的广泛存在性理论，但即使在 $d=2$ 情况下，弱解的有界性也一直是薄膜方程理论中一个主要的未解决问题。由于薄膜方程的四阶结构，De Giorgi-Nash-Moser 理论不适用。我们的证明基于挖洞技术，其挑战在于四阶偏微分方程的退化抛物性。