无嫉妒切蛋糕：高概率下的多项式查询次数

本文提出一个概率框架，用于研究 $n$ 个玩家之间对可分物品（如蛋糕）的公平分配。我们的框架遵循与不可分物品公平分配研究中使用的“完全独立模型”相同的思路。我们证明，在此框架下，存在一个无嫉妒分配算法，满足以下概率估计：$$\mathbb{P}\big( C(\mu_1, \ldots,\mu_n) \geq n^{7+b}\big) = \mathcal{O}\Big(n^{-\frac{b-1}{3}+1+o(1)}\Big),$$其中 $\mu_1,\ldots, \mu_n$ 对应 $n$ 个玩家的偏好，$C(\mu_1, \ldots,\mu_n)$ 是算法使用的查询次数，且 $b>4$。特别地，这给出$$\lim_{n \rightarrow + \infty}\mathbb{P}\big( C(\mu_1, \ldots,\mu_n) \geq n^{12}\big) = 0.$$ 必须指出，目前关于无嫉妒分配算法复杂度的已知结果甚少。事实上，Procaccia 给出了 $\Omega(n^2)$ 的下界，而 Aziz 和 Mackenzie 给出了 $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}$ 的上界。由于我们的估计意味着以高概率有 $C(\mu_1, \ldots, \mu_n)<n^{12}$，这为无嫉妒切蛋糕算法的复杂度提供了新的见解。我们的结果源于对 Webb 算法的研究以及 Tao 和 Vu 关于随机矩阵最小奇异值的一个定理。