树上离散且有界的局部无嫉妒切蛋糕协议

我们研究公平分配异质可分割资源（建模为线段 $[0,1]$，通常称为“蛋糕”）给 $n$ 个代理人的经典问题。本工作考虑该问题的一个有趣变体，其中代理人嵌入在一张图上。图约束意味着每个代理人仅将其所得份额与邻居的份额进行比较。给定一张图，目标是高效找到局部无嫉妒分配，其中每个代理人对其蛋糕份额的估值至少不低于其任一邻居份额的估值。本工作最重要的贡献是一个有界协议，该协议在树图上利用 $n^{O(n)}$ 次查询（基于标准 Robertson-Webb (RW) 查询模型）为 $n$ 个代理人找到局部无嫉妒分配。我们提出协议的查询复杂度虽为指数级，但显著改进了 Aziz 和 Mackenzie [AM16] 针对完全图当前最佳的超指数查询复杂度上界。特别地，我们还表明若底层树图深度至多为二，则可用 $O(n^4 \log n)$ 次 RW 查询找到局部无嫉妒分配。这是首个也是唯一已知的针对非平凡图结构具有多项式查询复杂度的局部无嫉妒切蛋糕协议。有趣的是，我们的离散协议简单且易于理解，与 [AM16] 中高度复杂的协议相反。这种简洁性可归因于其递归性质以及使用单个代理人作为指定的“切割者”。我们相信这些结果将通过揭示查询复杂度中的瓶颈及其与底层图结构的关系，帮助我们改进对堪称挑战性的无嫉妒切蛋糕问题的算法理解。