图上的蛋糕分割：一种离散且有界的成比例协议

经典的蛋糕分割问题研究如何在多个智能体之间找到异质且可分割资源的公平分配。蛋糕分割中研究最广泛的两种公平概念是成比例性和无嫉妒性。众所周知，通过简单协议[16]可以高效地为 $n$ 个智能体找到成比例分配。对于无嫉妒性，在最近的一项突破中，Aziz 和 Mackenzie [5] 针对任意数量的参与者提出了一种离散且有界的 envy-free 协议。然而，该协议具有多指数级的较高查询复杂度，并且寻找更简单、更高效的无嫉妒协议仍然是一个开放问题。在本文中，我们考虑蛋糕分割问题的一个变体，假设智能体之间存在一个底层图，其边描述它们的相识关系，并且智能体相对于其邻居的份额来评估自己的份额。如果每个智能体认为她获得的至少是其邻居的平均值，则称该分配为局部成比例的。局部成比例性推广了成比例性，并且处于成比例性和无嫉妒性之间一个有趣的中间地带：其存在性由无嫉妒分配的存在性所保证，但已知没有简单协议能为一般图生成这样的局部成比例分配。先前的工作展示了针对特殊图类的局部成比例协议，并且在[1]和[8]中均将其列为开放问题，即为更一般的图类设计简单的局部成比例协议。在本文中，我们通过提出针对任意给定图的离散且有界的局部成比例协议，完全解决了这一开放问题。我们的协议仅具有单指数级的查询复杂度，远小于[5]中给出的无嫉妒协议的 $n$ 的六层塔查询复杂度。