趋化-消耗系统能否在任意维数下从测度型聚集态中恢复？

我们考虑在光滑有界区域 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$（$n \geq 2$）中具有参数 $\chi > 0$ 及 Neumann 边界条件的趋化-消耗系统 $$\left\{ \begin{aligned} u_t &= \Delta u - \chi \nabla \cdot (u\nabla v) \\ v_t &= \Delta v - uv \end{aligned} \right.$$ 。众所周知，对于充分光滑的非负初值数据，且在 $v$ 的初态满足一个小性条件时，上述系统的解永远不会爆破，甚至是全局有界的。本文在某种意义上更进一步，提出该系统是否甚至能从已经类似于测度型爆破的初态中恢复的问题。为回答此问题，我们证明：给定任意大的正 Radon 测度 $u_0$ 且 $u_0(\overline{\Omega}) > 0$ 作为第一方程的初值，以及非负 $L^\infty(\Omega)$ 函数 $v_0$ 满足 $$0 < \|v_0\|_{L^{\infty}(\Omega)} < \frac{2}{3n\chi}$$ 作为第二方程的初值，仍有可能构造上述系统的全局经典解。