肿瘤侵袭趋化模型的有界性与指数收敛

我们重新审视以下模拟肿瘤侵袭的趋化系统 \begin{equation*} \begin{cases} u_t=\Delta u-\nabla \cdot(u\nabla v),& x\in\Omega, t>0,\\ v_t=\Delta v+wz,& x\in\Omega, t>0,\\ w_t=-wz,& x\in\Omega, t>0,\\ z_t=\Delta z-z+u, & x\in\Omega, t>0,\\ \end{cases} \end{equation*} 其中在光滑有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n(n\geq 1)$ 中具有齐次诺伊曼边界条件和初始条件。该模型最近由 Fujie 等人 \cite{FIY14} 提出，作为考虑了细胞外基质作用的肿瘤侵袭模型，并由 Fujie 等人 \cite{FIWY16} 分析，展示了 $n\leq 3$ 时的均匀有界性和收敛性。在本工作中，我们首先证明系统的 $L^\infty$ 有界性可归结为仅对某些 $\epsilon>0$ 的 $\|u(\cdot,t)\|_{L^{\frac{n}{4}+\epsilon}(\Omega)}$ 的有界性；然后，对于 $n\geq 4$，如果初始数据 $\|u_0\|_{L^{\frac{n}{4}}}$、$\|z_0\|_{L^\frac{n}{2}}$ 和 $\|\nabla v_0 \|_{L^n}$ 足够小，我们就能建立系统的 $L^\infty$ 有界性。此外，我们证明了有界性意味着具有显式收敛率指数收敛，这解决了 \cite{FIWY16} 中留下的开放问题。