化学趋导系统中无死核形成的证明

本文考虑形如 \begin{align*} \left\lbrace \begin{array}{r@{}l@{\quad}l} &u_t=\nabla\cdot\big(D(u)\nabla u-uS(u)\nabla v\big)+f(u,v),\ &v_t=\Delta v- uv,\ \end{array}\right. \end{align*} 的化学趋导系统，其中包含信号消耗和退火扩散项，定义于边界光滑的有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$ 中，施加无通量和齐次 Neumann 边界条件。在式中，扩散系数 $D\in C^0([0,\infty))\cap C^2((0,\infty))$ 被假设满足 $D(0)=0$，$D(s)>0$ 在 $(0,\infty)$ 上，$D'(s)\geq 0$ 在 $(0,\infty)$ 上，并且存在 $s_0>0$，$p>1$ 和 $C_D>0$，使得 $$s D'(s)\leq C_D D(s)\quad\text{and}\quad C_D s^{p-1}\leq D(s)\quad\text{for }s\in[0,s_0].$$ 灵敏度函数 $S\in C^2([0,\infty))$ 和源项 $f\in C^{1}([0,\infty)\times[0,\infty))$ 被假设为非负。我们证明对于所有满足 $u_0\geq \delta_0>0$ 和 $v_0\not\equiv 0$ 的足够光滑初始数据 $(u_0,v_0)$ ，存在局部经典解，并且尽管在 $0$ 处存在退火性，解仍满足如下可扩展准则： $$\text{either}\quad T_{max}=\infty,\quad\text{or}\quad\limsup_{t\nearrow T_{max}}\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)}=\infty.$$ 此外，作为我们分析的副产品，我们证明满足 $\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)}\leq M_u$ 的经典解在 $\Omega\times(0,T)$ 中始终保持严格正，即可以找到 $\delta_u=\delta_u(T,\delta_0, M_u,\|v_0\|_{W^{1,\infty}(\Omega)})>0$，使得 $$u(x,t)\geq\delta_u\quad\text{for all }(x,t)\in\Omega\times(0,T).$$ 结果表明，在具有退火扩散的化学趋导系统中，在 blow-up 时间之前不可能形成死核。