二维与三维中具有潜在退化扩散张量的趋触系统全局解

我们考虑在光滑有界区域 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$，$n \in \{2,3\}$ 中的潜在退化趋触系统 \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} u_t &= \nabla \cdot (\mathbb{D} \nabla u + u \nabla \cdot \mathbb{D}) - \chi \nabla \cdot (u\mathbb{D}\nabla w) + \mu u(1-u^{r- 1}), \\ w_t &= - uw \end{aligned} \right. \end{equation*}，具有无通量边界条件、正初始数据 $u_0$、$w_0$ 以及参数 $\chi > 0$、$\mu > 0$、$r \geq 2$ 和 $\mathbb{D}: \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}$，$\mathbb{D}$ 在 $\overline{\Omega}$ 上半正定。我们关于上述系统的主要结果是在对 $\mathbb{D}$ 及初始数据相当温和的假设下构造弱解，涵盖了第一方程中退化扩散的情形。作为该构造的一步以及可能具有独立意义的结果，我们进一步在 $\mathbb{D}$ 全局正定的假设下为同一系统构造经典解，这确保了其相关扩散算子的完全正则化作用。在这两种构造中，我们自然地依赖于第一方程中足够强的 logistic 源项的正则化性质。