sharp Nash 不等式的对偶形式及其加权推广

Sobolev 不等式与 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式之间众所周知的对偶性表明，Nash 不等式也可能具有有趣的对偶形式，尽管 Nash 不等式关联的是三个范数而非两个。我们在此给出了具有 sharp 常数的这样一种对偶形式。该对偶不等式将 $L^2$ 范数与 $L^\infty$ 和 $H^{-1}$ 范数的下卷积联系起来。该下卷积的计算是一个极小化问题，我们显式地求解了该问题，从而为 sharp Nash 不等式本身提供了一个新证明。这一通过对偶的证明还给出了 Nash 不等式一些新的加权推广的 sharp 形式以及这些加权变体的对偶形式。