带分数耗散的 d 维微极性方程的唯一弱解

本文研究带一般分数耗散 $(-\Delta)^{\alpha}u$ 与 $(-\Delta)^{\beta}w$ 的 d 维微极性方程（$d=2$ 或 $d=3$）弱解的存在性与唯一性。具有标准拉普拉斯耗散的微极性方程刻画了带微观结构的流体。推广到包含分数耗散可同时研究一族方程，并在某些物理情形中相关。我们确立：当 $\alpha\ge \frac12$ 且 $\beta\ge \frac12$ 时，临界 Besov 空间中的任意初值数据 $u_0\in B^{1+\frac{d}{2}-2\alpha}_{2,1}(\mathbb R^d)$ 与 $w_0\in B^{1+\frac{d}{2}-2\beta}_{2,1}(\mathbb R^d)$ 均给出唯一弱解。当 $\alpha\ge 1$ 且 $\beta=0$ 时，任意初值 $u_0\in B^{1+\frac{d}{2}-2\alpha}_{2,1}(\mathbb R^d)$ 与 $w_0\in B^{\frac{d}{2}}_{2,1}(\mathbb R^d)$ 同样导出唯一弱解。这些 Besov 空间中的正则性指标看似最优，无法为获得唯一性而降低。特别地，具有标准拉普拉斯耗散（即 $\alpha=\beta=1$）的二维微极性方程对 $(u_0, w_0)\in B^0_{2,1}$ 有唯一弱解。证明涉及在 Besov 空间框架下构造逐次逼近序列并作广泛的先验估计。