若干多项分数阶贝塞尔方程解的分析

我们构建了广义分数阶贝塞尔微分方程的存在性理论，并以分数阶或对数分数阶幂级数的形式求出解。我们厘清了级数解唯一、非唯一或不存在的情形。针对相应的初值问题，在 $C^p$ 空间中证明了唯一性定理。我们关注如下齐次广义分数阶贝塞尔方程 $$\sum_{i=1}^{m}d_i\, x^{\alpha_i}D^{\alpha_i} u(x) + (x^\beta - \nu^2)u(x)=0, \ \ \alpha_i > 0, \beta > 0,$$ 它将标准分数阶与经典贝塞尔方程作为特例包含在内。主要地，我们考虑 Caputo 意义下的分数阶导数，并针对正系数 $d_i$ 构建理论。我们的理论给出了 $\nu^2$ 的阈值容许值，其与已知结果完美契合。我们的发现得到若干数值例子与反例的支持，这些例子印证了所施加条件的必要性。研究的关键在于构造恰当的分数阶幂级数，从而导出一个代数特征方程。依据其特征根及其重数/复杂性，我们求出线性无关解组。