有限通道中三维库埃特流的转捩阈值

本文研究有限通道 $\mathbb{T}\times [-1,1]\times \mathbb{T}$ 中高雷诺数 ${Re}$ 下三维平面库埃特流 $(y,0,0)$ 的非线性稳定性。众所周知，平面库埃特流对任意雷诺数都是线性稳定的。然而，在高雷诺数下，对于微小但有限的扰动，它可能发生非线性失稳并转捩为湍流。这就是所谓的 Sommerfeld 悖论。该悖论的一种解决途径是研究转捩阈值问题，即关注多大扰动会导致流动失稳以及扰动对雷诺数的依赖关系。本工作表明，若初始速度 $v_0$ 满足 $\|v_0-(y,0,0)\|_{H^2}\le c_0{Re}^{-1}$（其中 $c_0>0$ 且与 $Re$ 无关），则三维 Navier-Stokes 方程的解全局存在且不从库埃特流在 $L^\infty$ 意义下转捩离开，并且由于混合增强耗散效应，在 $t\gg Re^{\frac 13}$ 时快速收敛到条纹解。该结果证实了 Trefethen 等人（Science, 261(1993), 578-584）提出的转捩阈值猜想。为此，我们发展了预解式估计方法，以建立绕流 $(V(t,y,z), 0,0)$ 的完整线性化 Navier-Stokes 系统的时空估计，其中 $V(t,y,z)$ 是库埃特流 $y$ 的小扰动（但与 $Re$ 无关）。