Sommerfeld悖论的一个解答

Sommerfeld悖论大致是说，从数学上讲，Couette线性剪切流对所有雷诺数都是线性稳定的，但实验上，当雷诺数足够大时，任意小的扰动都能诱发从线性剪切流向湍流的转变。我们解决这一悖论的主要思路是证明存在一列线性不稳定的剪切流，它们在动能范数下趋近于线性剪切流，但在涡度范数下不趋近。这些振荡剪切流是所有剪切流的傅里叶级数中的单个傅里叶模式。在实验中，无论对线性剪切流的初始扰动有多小，这种线性不稳定性将表现为瞬态非线性增长，从而导致从线性剪切流向湍流的转变。在欧拉动力学下，这些振荡剪切流是稳态的，并且猫眼结构作为行波从它们分岔出来。这些振荡剪切流邻域内的三维剪切流U(y,z)也是线性不稳定的。在纳维-斯托克斯动力学下，这些振荡剪切流不是稳态的，而是缓慢漂移的。当这些振荡剪切流被视为冻结时，相应的Orr-Sommerfeld算子具有不稳定的特征值，当雷诺数趋于无穷时，这些特征值趋近于相应的无粘特征值。上述所有线性不稳定性为Sommerfeld悖论提供了一个解答，并成为从线性剪切流向湍流转变的启动机制。